1.PCA 降维算法 —— 原理与实现
2.PCA降维（python）
3.C#中如何编写PCA算法代码？
4.FindVariableFeatures
5.综合评价与决策——主成分分析（PCA）法（附Python源码）
6.2020-07-21

PCA 降维算法 —— 原理与实现

       PCA（主成分分析）是源码一种常用的数据降维方法，通过线性变换提取数据的源码主要特征分量。适用于高维数据处理，源码具体步骤如下：

       1. 收集[公式]条[公式]维数据。源码

       2. 计算数据的源码协方差矩阵。

       3. 求解协方差矩阵的源码电影类网站源码特征值与特征向量。

       4. 选择最大的源码特征值对应的特征向量作为主成分，依次类推。源码

       使用numpy库实现PCA的源码Python代码如下：

       源代码链接：[github.com/leizhang-geo...]

       PCA的核心思想是将方差最大的方向作为主特征，使得数据在不同正交方向上相互独立。源码这有助于简化数据结构，源码但PCA存在局限性。源码fuip 源码对于高阶相关性数据，源码考虑使用Kernel PCA，源码通过Kernel函数转换为线性相关。源码PCA假设主特征分布在正交方向上，非正交方向存在较大方差时，PCA效果不佳。PCA是一种无参数技术，通用性强，但缺乏个性化优化能力。

PCA降维（python）

       PCA（主成分分析），作为常见的他山之石源码数据分析工具，通过线性变换实现高维数据的有效降维。其核心原理是将冗余的高维数据转化为一组不相关的低维表示，保留数据的主要特征信息。以iris数据集为例，PCA可将个相关变量压缩成5个主要成分，显著简化数据结构，提高分析效率。

       进行PCA降维通常包括以下步骤：首先，确保数据预处理无缺失值，因为PCA基于变量间的相关性；其次，根据研究目标选择PCA（降维）或EFA（探索潜在结构）；接着，makeblock 源码确定主成分或因子数量；然后，进行主成分或因子选择并可能进行旋转以增强解释性；最后，解释降维结果并计算主成分得分。

       在实践中，未调用特定包时，我们可以直观地观察特征值，如选取前两个主成分就能达到%的累积贡献率。比较降维前后数据的可视化效果，降维后的数据分布更清晰。至于包调用，如使用sklearn库，感恩 源码提供了更便捷的接口实现PCA降维，如通过PCA类进行操作。

       深入了解PCA的数学原理和Python实现，可以参考以下资源：

       郑申海：PCA的数学原理

       PCA（主成分分析）的python源码实现

       Python实现PCA降维教程

       机器学习中的PCA主成分分析指南

       Python与数据分析：炼数成金-Dataguru专业数据分析社区中的PCA详解

       这些资源将帮助你深入理解PCA并应用于实际的数据处理工作中。

C#中如何编写PCA算法代码？

               PCA的处理步骤：

               1，均值化

               2，求协方差矩阵（我知道的有两种方法，这是第一种，按部就班的求，第二种是：（A*A‘/(N-1)））

               3，求协方差的特征值和特征向量

               4，将特征值按照从大到小的顺序排序，选择其中最大的k个，然后将其对应的k个特征向量分别作为列向量组成特征向量矩阵

               5，将样本点投影到选取的特征向量上

       matlab实现源代码

%PCA算法，matlab实现

       function F=pcad(A,n)%A是M*N

       %测试实例A=[2.5,0.5,2.2,1.9,3.1,2.3,2,1,1.5,1.1;2.4,0.7,2.9,2.2,3.0,2.7,1.6,1.1,1.6,0.9]

       %结果F=[0.，-1.，0.，0.，1.，0.，-0.，-1.，-0.，-1.]

       %PCA第一步：均值化

       X=A-repmat(mean(A,2),1,size(A,2))%去均值

       %PCA第二步：求特征协方差矩阵

       B=COV(X')%求协方差

       %PCA第三步：求特征协方差矩阵的特征值和特征向量

       [v,d]=eig(B)%求特征值和特征向量

       %PCA第四步：将特征值按照从大到小的顺序排序

       d1=diag(d);%取出对角矩阵，也就是把特征值提出来组成一个新的M*1的d1矩阵

       [d2 index]=sort(d1); %特征值以升序排序 d2是排序后的结果 index是数排序以前的排名位置

       cols=size(v,2);% 特征向量矩阵的列数

       for i=1:cols   %对特征向量做相反位置的调整 是个降序排列。这个过程把特征值和特征向量同时做相应的降序排列

           vsort(:,i) = v(:,index(cols-i+1) ); % vsort 是一个M*col(注:col一般等于M)阶矩阵，保存的是按降序排列的特征向量,每一列构成一个特征向量

           %vsort保存的是协方差矩阵降序后的特征向量，为M*M阶

           dsort(i) = d1(index(cols-i+1));  % dsort 保存的是按降序排列的特征值，是一维行向量，1*M

       end  %完成降序排列

       M=vsort(:,1:n)%提取主成分量

       %PCA第五步：将样本点投影到选取的特征向量上

       F=(X'*M)'%最终的投影

FindVariableFeatures

         单细胞文章层出不重，在重现文章数据的时候发现，有的文章提供的是处理后的单细胞矩阵，而不是原始counts。其中有的数据甚至是scaled data，这样我就有疑问：直接利用scaled data能否进行单细胞分析。

          单细胞数据进行分析主要有几个步骤：lognormalized，FindVariableFeatures，scaledata，PCA，FindClusters。其中，可以略过lognormalized和scaledata步骤，但是FindVariableFeatures用来发现高可变基因，似乎只有scaled data不能进行高可变基因的发现，且这一步的高可变基因用于后续PCA分析，也不能省略，因此我看了下FindVariableFeatures的源码（Seurat V3版本）：

          可以看到，高可变基因的获取是利用原始counts矩阵或者lognormalized data的j计算的，也就是说seurat作者认为scaled data来计算高可变基因可能是不准确的，因此文章只提供了scaled data是不能进行高可变基因的计算的。

          当然，会有好(tai)奇(gang)的人问了，我就是要用scaled data来运行FindVariableFeatures，会得到比较可靠的高可变基因吗？因此，我测试了下运用counts, lognormalized data, scaled data来进行高可变基因获取：

        可以看到，利用scaled data计算出来的高可变基因与counts,data计算出来的差别是很大的。

        那么没有高可变基因是不是就不能进行PCA等降维分析了呢？理论上当然不是，RunPCA可以自己指定基因来运行。

综合评价与决策——主成分分析（PCA）法（附Python源码）

       本文探讨了综合评价与决策过程中的主成分分析（PCA）法，其核心在于量化评价对象的相对优劣。具体做法如下：

       首先，考虑有n个评价对象，每个对象被分配到m个评价属性上，形成决策矩阵。矩阵中的每个行向量代表一个评价对象。

       主成分分析（PCA）的核心思想是通过线性组合，最大化各分量的方差之和。其具体步骤包括数据预处理、计算相关系数矩阵的特征值与特征向量，以及计算评分模型。

       在数据预处理阶段，将所有属性标准化，形成标准决策阵。

       接着，计算相关系数矩阵的特征值与特征向量，特征向量构成旋转坐标系，使各分量方差之和最大化。

       通过计算主成分贡献率与累积贡献率，确定前k个主成分，其中k通常设为使累积贡献率达到0.9的值。这k个主成分的线性组合得到最终评分模型。

       应用实例中，以我国-年宏观投资效益数据为例，通过PCA法，得到评分向量，从而对这些年的投资效益进行排序。

       附Python源码，用于实现上述PCA过程的完整步骤。

       参考文献提供了理论基础，包括数学建模算法与应用、机器学习等领域的相关内容。

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        主成分分析（PCA）是一种数据降维和去除相关性的方法，它通过线性变换将向量投影到低维空间。对向量进行投影就是对向量左乘一个矩阵，得到结果向量：

        在这里，结果向量的维数小于原始向量的维数。降维要确保的是在低维空间中的投影能很好地近似表达原始向量，即重构误差最小化。

        核心的问题的如何得到投影矩阵，和其他的机器学习算法一样，它通过优化目标函数得到。首先考虑最简单的情况，将向量投影到一维空间，然后推广到一般情况。

        假设有 n 个 d 维向量 X i ，如果要用一个向量 X 0 来近似代替它们，这个向量取什么值的时候近似代替的误差最小？如果用均方误差作为标准，就是要最小化如下函数：

        显然问题的最优解是这些向量的均值：

        证明很简单。为了求上面这个目标函数的极小值，对它的求梯度（求导）并令梯度等于0，可以得到

        解这个方程即可得到上面的结论。只用均值代表整个样本集过于简单，误差太大。作为改进，可以将每个向量表示成均值向量和另外一个向量的和：

        其中，e为单位向量，ai 是标量。上面这种表示相当于把向量投影到一维空间，坐标就是ai 。当e和ai取什么值的时候，这种近似表达的误差最小？

        这相当于最小化如下误差函数：

        将上面求得的ai带入目标函数中，得到只有变量e的函数：

        上式的后半部分和e无关，由于e是单位向量，因此有 ||e||=1 的约束，这个约束条件可以写成e T e=1。我们要求解的是一个带等式约束的极值问题，可以使用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数：

        因此，这个矩阵半正定。这里需要最大化 e T Se 的值，由于

        因此， 为散度矩阵最大的特征值时， e T Se 有极大值，目标函数取得极小值。将上述结论从一维推广到 d' 维。每个向量可以表达成

        在这里 e i 是单位向量。误差函数变成

        可以证明，使得该函数取最小值的 e j 为散度矩阵最大的d'个特征值对应的单位长度特征向量，即求解下面的优化问题：

        其中， tr 为矩阵的迹。矩阵W的列 e j 是要求解的迹的基向量。散度矩阵是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交。前面已经证明这个矩阵半正定，特征值非负。这些特征向量构成一组基向量，可以用它们的线性组合来表达向量 x 。从另外一个角度来看，这种变换将协方差矩阵对角化，相当于去除了各分量之间的相关性。

        从上面的推导过程可以得到计算投影矩阵的流程如下：

        （1）计算样本集的均值向量，将所有向量减去均值，这成为白化；

        （2）计算样本集的协方差矩阵；

        （3）对协方差矩阵进行特征值分解，得到所有特征值与特征向量；

        （4）将特征值从大到小排序，保留最大的一部分特征值对应的特征向量，以它们为行，形成投影矩阵。

        具体保留多少个特征值由投影后的向量维数决定。使用协方差矩阵和使用散度矩阵是等价的，因为后者是前者的 n 倍，而矩阵 A 和 nA 有相同的特征向量。

        得到投影矩阵之后可以进行向量降维，将其投影到低维空间。向量投影的流程如下。

        （1）将样本减掉均值向量。

        （2）左乘投影矩阵，得到降维后的向量。

        向量重构指根据投影后的向量重构原始向量，与向量投影的作用和过程相反。向量重构的流程如下。

        （1）输入向量左乘投影矩阵的转置矩阵。

        （2）加上均值向量，得到重构后的结果。

        从上面的推导过程可以看到，在计算过程中没有使用样本标签值，因此，主成分分析是一种无监督学习算法。除了标准算法之外它还有多个变种，如稀疏主成分分析、核主成分分析、概率主分量分析等。

        源码讲解视频链接